弥合鸿沟：龙格-库塔共振格式中的辛结构与低正则性

近年来，针对色散非线性偏微分方程开发的所谓基于共振的方法受到越来越多的研究关注。在许多情形下，这类新方法允许在比例如经典分裂或指数积分器方法更一般的设定（如粗糙数据）下进行逼近。然而，它们缺乏一个重要性质：保持流的几何性质。这在 Korteweg-de Vries (KdV) 方程和非线性薛定谔方程 (NLSE) 的情形中尤为突出，它们是色散无穷维哈密顿系统广阔领域中的基本模型，拥有无穷多个守恒量——我们希望在离散层面上也能（至少在一定程度上）捕捉这一重要性质。如今，针对哈密顿系统已有大量保结构积分器可用，但典型地这些现有算法只能高效逼近高正则解。另一方面，最先进的低正则积分器却很差地保持底层 PDE 的几何结构。本工作中，我们引入了一个新颖的框架，即所谓龙格-库塔共振基方法，适用于一大类色散非线性方程，其相较先前的共振基格式纳入了远更多的自由度，同时具备类似有利的低正则收敛性质。特别地，对于 KdV 与 NLSE 情形，我们能够通过刻画两类方程的一大类辛（在哈密顿图像下）共振基方法，在低正则与结构保持之间架起桥梁，这些方法允许对解进行低正则逼近，同时在离散层面上保持连续问题的底层几何结构。