圆球面上的超临界椭圆问题与射影空间中山边问题的节点解

给定 $n$ 维圆球面上的一个等参函数 $f$，我们考虑形如 $u=w\circ f$ 的函数，将半线性椭圆问题 $$-\Delta_{g_0}u+\lambda u=\lambda\ | u\ | ^{p-1}u\qquad\text{ on }\mathbb{S}^n$$（其中 $\lambda>0$ 且 $1<p$）约化为 $[0,\pi]$ 上的一个奇异常微分方程，形如 $w'' + \frac{h(r)}{\sin r} w' + \frac{\lambda}{\ell^2}\ (| w|^{p-1}w - w\ )=0$，其中 $h$ 是一个在此区间内恰好有一个零点的严格递减函数，$\ell$ 是一个几何常数。利用双重打靶法，结合此类常微分方程振荡解的一个结果，我们获得了第一个问题的一系列变号解，这些解在与 $f$ 相关联的等参超曲面上为常数，并在生成等参族的其中一个或两个焦子流形处爆破。我们的方法也适用于 $p>\frac{n+2}{n-2}$，即超临界情形。此外，利用调和态射进行约化，我们证明了复空间和四元数空间上山边问题变号解的存在性和多重性，这些解具有等参超曲面的有限不交并作为正则水平集。