立方体上半线性椭圆型偏微分方程的牛顿法与对称性

我们寻求形如 $\Delta u + f_s(u) = 0$ 的半线性椭圆型偏微分方程解 $u:\Omega \to R$ 的离散近似，其中 $f_s$ 是单参数非线性函数族，$\Omega$ 是 $R^d$ 中的域。本文的主要成果是对立方体 $\Omega=(0,\pi)^3 \subseteq R^3$ 上的 PDE 解进行了近似。立方体上的函数有 323 个可能的各向同性子群，它们分为 99 个共轭类。该问题中具有对称性的分岔非常有趣，其中包括许多具有三维临界特征空间的情况。面对如此多的各向同性子群及其间的分岔，我们的自动化对称性分析是必不可少的，它使我们的代码能够追踪在每个等价类中于分岔点处创建的一个分支。我们最复杂的结果是对具有六维临界特征空间的退化分岔的完整分析。本文扩展了作者在《图上非线性椭圆型偏差分方程的自动化分岔分析》（Int. J. of Bifurcation and Chaos, 2009）中的工作，在其中他们将对称性分析与梯度 Newton-Galerkin 算法（GNGA, Neuberger and Swift）的改进实现相结合，以自动为具有大对称群的小型离散问题生成分岔图和解的图形。本文所述代码已高效并行实现，使我们能够研究立方体的相对细网格离散化。我们使用了我们在论文《自提交并行作业队列的 MPI 实现》（Int. J. of Parallel Prog., 2012）中提出的方法及相应库。