半线性椭圆方程奇异非线性函数破裂集细部结构

本文研究半线性椭圆方程的平稳解，该方程形式为 $$\Delta u=u^{-p}+f,\,\,u\geq 0\text{ 在 }\Omega\subset\mathbb{R}^n,$$ 其中 $n\geq 2$, $p>1$, $\Omega$ 为有界域,且 $f\in L^q(\Omega)$ 满足 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2p}<\frac{q}{n}$。我们对破裂集 $\{u=0\}$ 的 Minkowski 内容给出尖锐估计，并证明该集合为 $(n-2)$-可测.为此，我们基于切向函数对称性质对破裂集进行分层，从而证明每个 $k$-层的可测性。我们分析的一个重要副产品是将 $D^ju$ ($j\in\mathbb{Z}_+$) 的可积性提升至最优 Lorentz 空间 $L^{\frac{2(p+1)}{j(p+1)-2},\infty}$,并假设 $D^{j-1}f$ 有界.作为本文结果在方程静态情形的一个应用，对于三维演化问题 $$\partial_tu=\Delta u-u^{-p},\,\,u\geq 0\text{ 在 }(\Omega\subset\mathbb{R}^3)\times(0,T),$$ 其中 $p>3$ 和 $T>0$，我们证明 $\{u(\cdot,t)=0\}$ 在 $(0,T)$ 中大多数 $t$ 处为 $1$-可测.