空间形式上半黎曼 Yamabe 问题的 ODE 约化方法

我们考虑如下形式的半黎曼 Yamabe 型方程 $$-\square u + \lambda u = \mu \vert u\vert^{p-1}u\quad\text{ on }M$$ 其中 $M$ 是维数 $m\geq 3$ 的半欧氏空间或伪球面，$\square$ 是 $M$ 上的半黎曼 Laplacian，$\lambda\geq0$，$\mu\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}$ 且 $p>1$。利用 $M$ 上的半黎曼等参函数，我们将该 PDE 约化为如下形式的广义 Emden-Fowler ODE $$w''+q(r)w'+\lambda w = \mu\vert w\vert^{p-1}w\quad\text{ on } I,$$ 其中 $I\subset\mathbb{R}$ 为 $[0,\infty)$ 或 $[0,\pi]$，$q(r)$ 在 $0$ 处发散，且 $w$ 满足自然初值条件：第一种情形为 $w'(0)=0$，第二种情形为 $w'(0)=w'(\pi)=0$。我们证明了该问题爆破解与整体定义解（包括正解与变号解）的存在性，它们诱导出具有相同定性性质的半黎曼 Yamabe 型问题的解，其水平集与临界集由半黎曼等参超曲面与焦簇描述。特别地，我们证明了伪球面上半黎曼 Yamabe 问题存在具有指定 nodal 域个数的变号爆破解。