Yamabe 方程的低能量节点解

给定 n 维球面上的等参函数 $f$，我们考虑函数空间 $w\circ f$，将圆球上的 Yamabe 方程化为区间 $[0,\pi]$ 上关于 $w$ 的奇异常微分方程，形式为 $w" + (h(r)/\sin r)w'+\lambda(\vert w\vert^{4/n-2}w - w)=0$，其中 $h$ 是在 $[0,\pi]$ 上恰有一个零点的单调函数，$\lambda>0$ 为常数。为获得光滑解，自然边界条件为 $w'(0)=0$ 与 $w'(\pi )=0$。我们证明对任意正整数 $k$，存在恰有 $k$ 个零点的解，从而给出节点集恰为 $k$ 个连通等参超曲面的 Yamabe 方程解。证明思路是考虑两个奇点 $0$ 与 $\pi$ 处的初值问题，再求解相应的双打靶问题，在 $h$ 的唯一零点处匹配 $w$ 与 $w'$ 的值。特别地，我们得到恰有一个零点的解，提供了低能量的 Yamabe 方程解，其可借数值方法轻松计算。