Yamabe 系统、最优划分与 Yamabe 方程的节点解

我们给出了在闭黎曼流形 $(M,g)$ 上 Yamabe 方程具有任意数量 $\ell\geq 2$ 个分支的正则最优划分存在的条件。为此，我们研究了一个与 Yamabe 方程相关的 $\ell$ 个方程的弱耦合竞争椭圆系统。我们证明若该系统的维数 $\dim M\geq 10$、$(M,g)$ 不是局部共形平坦的且在 $\dim M=10$ 时满足额外的几何假设，则该系统存在具有非平凡分支的最小能量解。此外，我们证明当竞争参数趋于 $-\infty$ 时，解的各分支的极限剖面在空间上分离，从而产生一个最优划分。我们证明该划分穷尽整个流形，并证明了界面与极限剖面的正则性，以及一个自由边界条件。对于 $\ell=2$，所获得的最优划分给出了具有恰好两个节点域的 Yamabe 方程的最小能量变号解。