Riemann 流形上的尖锐$L^p$-Moser 不等式

考虑$(M,g)$为一个维度$n \geq 2$的光滑紧致无边 Riemann 流形，$1 < p$为实参数且$r = \frac{p(n + p)}{n}$。本文关注最优 Moser 不等式的有效性：$$\left(\int_M |u|^r\; dv_g \right)^{\frac{\tau}{p}} \leq \left( A(p,n)^{\frac{\tau}{p}} \left(\int_M |\nabla_g u|^p\; dv_g\right)^{\frac{\tau}{p}} + B_{opt} \left(\int_M |u|^p\; dv_g\right)^{\frac{\tau}{p}} \right) \left( \int_M |u|^p\; dv_g \right)^{\frac{\tau}{n}} \; .$$ 此类不等式在过去几年中已在$1 < p < n$的特例中得到研究。此处我们解决了$n \leq p$的情形，并引入了另一个参数$1 \leq \tau \leq \min\{p,2\}$。此外，我们证明了上述最优不等式极值函数的存在性。