黎曼 $L^p$-Gagliardo-Nirenberg 不等式中的 sharp 常数

设 $(M,g)$ 为维数 $n \geq 2$ 的光滑紧黎曼流形，$1 < p < n$ 且 $1 \leq q < r < p^\ast = \frac{np}{n-p}$ 为实参数。本文关注最优 Gagliardo-Nirenberg 不等式 $(\int_M |u|^r\; dv_g)^{\frac{\tau}{r \theta}} \leq (A_{opt} (\int_M |\nabla_g u|^p\; dv_g)^{\frac{\tau}{p}} + B_{opt} (\int_M |u|^p\; dv_g)^{\frac{\tau}{p}}) (\int_M |u|^q\; dv_g)^{\frac{\tau(1 - \theta)}{\theta q}}$ 的有效性。Chen 和 Sun (Nonlinear Analysis 72 (2010), pp. 3159-3172) 研究了此类不等式，其中作者确立了其在 $2 < p < r < p^\ast$ 且（隐含地）$\tau = 2$ 时的有效性。此处我们解决了 $p \geq r$ 的情形，并引入了另一个参数 $1 \leq \tau \leq \min\{p,2\}$。此外，我们证明了上述最优不等式极值函数的存在性。