关于 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式的最佳常数

本文导出如下 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式的最佳常数 \begin{eqnarray*} \|u\|_{L^{m+1}}\leq C_{q,m,p} \|u\|^{1-\theta}_{L^{q+1}}\|\nabla u\|^{\theta}_{L^p},\quad \theta=\frac{pd(m-q)}{(m+1)[d(p-q-1)+p(q+1)]}, \end{eqnarray*} 其中参数 $q,m,p$ 分别属于以下两个范围：(i) $p>d\geq 1$，$q\geq0$ 且 $m=\infty$。这表明 $L^{\infty}$-型 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式。(ii) $p>\max\{1,\frac{2d}{d+2}\}$，$0\leq q<\sigma-1$，且 $q<m<\sigma$，其中 $\sigma$ 定义为：若 $p<d$ 则 $\sigma:= \frac{(p-1)d+p }{d-p}$；若 $p\geq d$ 则 $\sigma:=\infty$。这给出 $L^{m}$-型 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式。最佳常数 $C_{q,m,p}$ 由 \begin{eqnarray*} C_{q,m,p}:=\theta^{-\frac{\theta}{p}}(1-\theta)^{\frac{\theta}{p}-\frac{1}{m+1}}M_c^{-\frac{\theta}{d}},\quad M_c:=\int_{\mathbb{R}^d}u_{c,m}^{q+1}\,dx, \end{eqnarray*} 给出，其中 $u_{c,m}$ 是广义 Lane-Emden 方程的唯一径向非增解。当 $u=Au_{c,m}(\lambda(x-x_0))$（对任意实数 $A>0$、$\lambda >0$ 及 $x_{0}\in \mathbb{R}^d$）时取等号。特别地，对于 $m=+\infty$ 的情形，广义 Lane-Emden 方程化为 Thomas-Fermi 型方程。对于 $q=0,~m=\infty$ 或 $d=1$，$u_{c,m}$ 是不完全 Beta 函数表示的闭式解。此外，我们证明当 $d=1$ 时，随着 $m\to +\infty$ 有 $u_{c,m}\to u_{c,\infty}$ 且 $C_{q,m,p}\to C_{q,\infty,p}$。