非局部非线性泊松-维尔ting不等式的对称性结果

本文研究非局部非线性泊松-维尔ting不等式中的最优常数。在区间 $(a,b)\subset\mathbb R$ 上：\begin{equation*} \lambda_\alpha(p,q,r){\left(\int_{a}^{b}|u|^{q}dx\right)^\frac pq}\le{\int_{a}^{b}|u'|^{p}dx+\alpha\left|\int_{a}^{b}|u|^{r-2}u\, dx\right|^\frac p{r-1}}, \end{equation*}其中 $\alpha\in\mathbb R$，$p,q,r >1$，满足 $\frac{2p}{p+2}\le q\le p$ 且 $\frac q2+1\le r \le q+\frac qp$。该问题在非局部情境下具有变分特征，由于其关联的欧拉-拉格range 方程涉及依赖于未知函数的积分项。我们证明存在临界值 $\alpha_C=\alpha_C (p,q,r)$，使得最小化解为偶函数且恒号时，$\alpha\le\alpha_{C}$；而为奇函数时，$\alpha\geq \alpha_{C}$。