一类Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的尖锐常数与极值函数

在本文中，我们将使用适当的变换研究以下Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式在广泛参数 $(r,p,q,s,\mu,\sigma)$ 和 $0\leq a\leq1$ 下的尖锐常数与极值函数：\begin{equation} \left({\displaystyle\int} \left\vert u\right\vert ^{r}\frac{dx}{\left\vert x\right\vert ^{s}}\right)^{1/r}\leq C\left( {\displaystyle\int} \left\vert \nabla u\right\vert ^{p}\frac{dx}{\left\vert x\right\vert ^{\mu}% }\right) ^{a/p}\left({\displaystyle\int} \left\vert u\right\vert ^{q}\frac{dx}{\left\vert x\right\vert ^{\sigma}% }\right) ^{\left( 1-a\right) /q}. \end{equation} 我们能够在众多情形下计算出最佳常数与极值函数的显式形式。当 $0<a<1$ 时，我们可以推断广泛参数范围内极值函数的存在性与对称性。此外，在特殊类 $r=p\frac{q-1}{p-1}$ 和 $q=p\frac{r-1}{p-1}$ 中，也将依据Del Pino和Dolbeault ([12], 13]) 给出极大函数的形式。在 $a=1$ 的情形，即无插值项的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，我们将给出所有 $\mu\geq0$ 范围内的精确极大函数。具有欧几里得空间上任意范数的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式也将依据Cordero-Erausquin, Nazaret和Villani [10] 的思想加以考虑。