离散 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式及非线性椭圆方程的基态解

本文在广泛的参数范围内证明了在格点 $\mathbb{Z}^{N}$ ($N\geq 1$) 上的离散 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式：$$\| u\|_{\ell_{b}^{q}}\leq C(a,b,c,p,q,r,\theta,N)\| u\|_{D_{a}^{1,p}}^{\theta}\| u\|_{\ell_{c}^{r}}^{1-\theta},\ \forall u\in D_{a,0}^{1,p}(\mathbb{Z}^{N}) \cap \ell_c ^r(\mathbb{Z}^{N}),$$其中 $p,q,r>1,0\leq\theta\leq1$, $\frac{1}{p}+\frac{a}{N}>0$, $\frac{1}{r}+\frac{c}{N}>0$, $b\leq\theta a+(1-\theta)c$,$$\frac{1}{q^{\ast}}+\frac{b}{N}= \theta(\frac{1}{p}+\frac{a-1}{N})+(1-\theta)(\frac{1}{r}+\frac{c}{N})$$且 $q\geq q^{\ast}$。对于 $\theta=1,a=0$ 和 $a=b=c=0$ 两种特殊情况，依据在 [24] 中建立的离散 Schwarz 重排，证明了在超临界情形 $q>q^{\ast}$ 下最佳常数的极值函数的存在性。作为应用，我们得到非线性椭圆方程的正基态解。