第二阶 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 恒等式与不等式

本文聚焦于第二阶 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优常数与优化器。首先，我们旨在研究以下在径向空间中的第二阶 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优常数与优化器：设 $N\ge1$, $t\ge p>1$, \begin{equation}\label{0.1} \left(\int_{\mathbb{R}^N} \frac{|\Delta u|^p}{|x|^{p\alpha}} \mathrm{d}x\right)^{\frac{1}{p}} \left[\int_{\mathbb{R}^N} \frac{\left|\nabla u\right|^{\frac{p(t-1)}{p-1}}} {|x|^{\frac{p(t-1)}{p-1}\beta}} \mathrm{d}x\right]^{\frac{p-1}{p}} \ge C(N,p,t,\alpha,\beta) \int_{\mathbb{R}^N} \frac{\left|\nabla u\right|^t}{|x|^{t\gamma}} \mathrm{d}x. \end{equation} 其次，我们建立第二阶 $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 恒等式，并在一般空间中获得第二阶 $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优常数与优化器（即 $p=t$ 在 \eqref{0.1} 中）。最后，在更一般的假设下，我们考虑最优加权第二阶 Heisenberg 不确定原理，这补充了最近的工作[``The sharp second order Caffareli-Kohn-Nirenberg inequality and stability estimates for the sharp second order uncertainty principle'', 2022, arXiv:2102.01425]。本文的主要新颖性在于我们研究了径向空间或一般空间中第二阶 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优版本，以及建立了第二阶 $L^p$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg 恒等式。