Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的稳定性

在本文中,我们考虑 Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) 不等式:\begin{eqnarray*} \bigg(\int_{{\mathbb R}^N}|x|^{-b(p+1)}|u|^{p+1}dx\bigg)^{\frac{2}{p+1}}\leq C_{a,b,N}\int_{{\mathbb R}^N}|x|^{-2a}|\nabla u|^2dx \end{eqnarray*} 其中 $N\geq3$, $a<\frac{N-2}{2}$, $a\leq b\leq a+1$ 且 $p=\frac{N+2(1+a-b)}{N-2(1+a-b)}$。众所周知,除去伸缩变换 $\tau^{\frac{N-2}{2}-a}u(\tau x)$ 和数乘 $Cu(x)$ 外,CKN 不等式在参数区域 $b_{FS}(a)\leq b<a+1$ 且 $a<0$,以及 $a\leq b<a+1$ 且 $a\geq0$ 且 $a+b>0$ 中具有唯一的极值函数 $W(x)$,该函数在上述区域为正且径向对称,其中 $b_{FS}(a)$ 为 Felli-Schneider 曲线。我们证明在上述参数区域内成立以下稳定性:\begin{enumerate} \item[$(1)$] \quad 泛函不等式意义下 CKN 不等式的稳定性 $$dist_{D^{1,2}_{a}}^2(u, \mathcal{Z})\lesssim\|u\|^2_{D^{1,2}_a({\mathbb R}^N)}-C_{a,b,N}^{-1}\|u\|^2_{L^{p+1}(|x|^{-b(p+1)},{\mathbb R}^N)}$$ 其中 $\mathcal{Z}= \{ c W_\tau\mid c\in\bbr\backslash\{0\}, \tau>0\}$; \item[$(2)$]\quad 临界点意义下 CKN 不等式的稳定性(在非负函数类中) \begin{eqnarray*} dist_{D_a^{1,2}}(u, \mathcal{Z}_0^\nu)\lesssim\left\{\aligned &\Gamma(u),\quad p>2\text{ or }\nu=1,\\ &\Gamma(u)|\log\Gamma(u)|^{\frac12},\quad p=2\text{ and }\nu\geq2,\\ &\Gamma(u)^{\frac{p}{2}},\quad 1<p<2\text{ and }\nu\geq2, \endaligned\right. \end{eqnarray*} 其中 $\Gamma (u)=\|div(|x|^{-a}\nabla u)+|x|^{-b(p+1)}|u|^{p-1}u\|_{(D^{1,2}_a)^{'}}$ 且 $$\mathcal{Z}_0^\nu=\{(W_{\tau_1},W_{\tau_2},\cdots,W_{\tau_\nu})\mid \tau_i>0\}.$$