Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式的统一Hölder Lebesgue框架

我们发展了统一的Hölder Lebesgue尺度 $X^p$ 及其加权高阶变体 $X^{k,p,a}$，将Caffarelli-Kohn-Nirenberg（CKN）不等式推广到经典Lebesgue框架之外。在该框架内，我们证明了一个关于三元组 $(k,1/p,a)$ 连续的双参数插值定理，在Lebesgue-Hölder谱系中桥接可积性与正则性。作为推论，我们在有界穿孔区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上获得了广义CKN不等式；常数对 $\Omega$ 的依赖关系通过权重在原点处的（不可）可积性精确刻画。在临界端点 $p=n$ 处，我们通过Trudinger-Moser结合局部加权Hardy引理建立了局部加权Brezis-Wainger型界，得到了具有对数损失的端点CKN不等式。我们不追求最优常数，而是证明仅依赖于结构参数和 $\Omega$ 的粗几何的常数存在性。几个推论，包括统一的Hardy-Sobolev不等式，均来自同一插值机制。