各向异性 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式

Caffarelli、Kohn 与 Nirenberg 在 1984 年考虑了插值不等式 $$\||x|^{\gamma_1}u\|_{L^s(\mathbb{R}^n)}\le C\||x|^{\gamma_2}\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^a\||x|^{\gamma_3}u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^{1-a}$$（维数 $n\ge 1$），并在参数自然假设下建立了其成立的充要条件。受我们对 Navier-Stokes 方程解渐近稳定性研究的推动，我们考虑更一般且改进的各向异性版本插值不等式 $$\||x|^{\gamma_1}|x'|^{\alpha}u\|_{L^s(\mathbb{R}^n)}\le C\||x|^{\gamma_2}|x'|^{\mu}\nabla u\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}^{a}\||x|^{\gamma_3}|x'|^{\beta}u\|_{L^q(\mathbb{R}^n)}^{1-a}$$（维数 $n\ge 2$），其中 $x=(x', x_n)$ 且 $x'=(x_1, ..., x_{n-1})$，并在参数自然假设下给出其成立的充要条件。此外，我们将 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式从 $q\ge 1$ 推广到 $q>0$。该推广连同本文获得的一个非线性 Poincar\'{e} 不等式，在我们上述各向异性插值不等式的证明中起到了重要作用。