Lipschitz 域上变指数 Sobolev 空间的模化 Poincaré-Wirtinger 型不等式

在变指数 Sobolev 空间的背景下，只要考虑 Luxemburg 范数，Poincaré--Wirtinger 不等式就是可能的。另一方面，如下期望形式的模化不等式 \begin{equation*} \int_\Omega \left|f(x)-\langle f\rangle_{\Omega}\right|^{p(x)} \ {\mathrm{d} x} \leqslant C \int_\Omega|\nabla f(x)|^{p(x)}{\mathrm{d} x}, \end{equation*} 已知是\emph{不成立}的。因此，变指数设定下所有可用的 Poincaré-Wirtinger 不等式的模化版本总是包含额外项，这些项在常数指数情形下不会消失，从而阻止此类不等式在常数指数设定下归约为经典不等式。我们的贡献有三方面。首先，我们确立了一个在常数指数情形下特化为经典不等式的模化 Poincaré--Wirtinger 不等式确实是可构想的。我们证明，如果 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是有界 Lipschitz 域，且如果 $p\in L^\infty(\Omega)$，$p \geq 1$，则对每一个 $f\in C^\infty(\bar\Omega)$ 成立如下广义 Poincaré--Wirtinger 不等式 \begin{equation*} \int_\Omega \left|f(x)-\langle f\rangle_{\Omega}\right|^{p(x)} \ {\mathrm{d} x} \leq C \int_\Omega\int_\Omega \frac{|\nabla f(z)|^{p(x)}}{|z-x|^{n-1}}\ {\mathrm{d} z}{\mathrm{d} x}, \end{equation*} 其中 $\langle f\rangle_{\Omega}$ 表示 $f$ 在 $\Omega$ 上的均值，$C>0$ 是仅依赖于 $\Omega$ 和 $\|p\|_{L^\infty(\Omega)}$ 的正常数。其次，我们的论证简洁且具有构造性，不依赖于紧性结果。第三，我们额外提供了关于 Lipschitz 域上最佳 Poincaré--Wirtinger 常数的几何信息。