关于 $B_\infty$势能的 Schr"odinger 方程在 Lipschitz 图上方的区域

本文研究了在 Lipschitz 图上方的区域中，对广义 Schr"odinger 算子 $-\text{div}(A\nabla )+ V$ 的 $L^p$ 正则性、$L^p$ Neumann 问题以及 $W^{1,p}$ 问题。在假设 $A$ 为椭圆、对称且 $x_d$ 独立的条件下，我们证明 $L^p$ 正则性问题在 $1<p<2+\varepsilon$ 上唯一可解。此外，我们也建立了 Neumann 问题在 $\frac{3}{2}-\varepsilon<p<3+\varepsilon$ 上的 $W^{1,p}$ 估计。作为副产品，我们也获得了 $L^p$ Neumann 问题在 $1<p<2+\varepsilon$ 上唯一可解。此前已知的此类估计仅涉及经典 Schr"odinger 方程 $-\Delta u+ Vu=0$ 在 $\Omega$ 中的情况，以及在 $\partial\Omega$ 上 $\frac{\partial u}{\partial n}=g$ 的 Neumann 边界条件，这由 Shen [Z. Shen, On the Neumann problem for Schr"odinger operators in Lipschitz domains, Indiana Univ. Math. J. 43 (1994)] 在 $1<p\leq 2$ 的范围内得到。所有 $p$ 的范围都是尖锐的。