半空间中完全非线性一致椭圆不等式的显式下解与 Liouville 定理

我们证明了关于半空间中完全非线性一致椭圆方程任意增长正粘性上解的 Liouville 型定理。具体而言，设 $M^-_{\lambda, \Lambda}$ 为 Pucci 下确界算子，定义为所有具有椭圆性常数 $\Lambda \geq \lambda > 0$ 的线性一致椭圆算子的下确界。我们证明了：当 $-1\leq p \leq (\Lambda/\lambda n+1)/(\Lambda/\lambda n-1)$ 时，不等式 $M^-_{\lambda, \Lambda}(D^2u) +u^p \leq 0$ 在半空间中不存在正粘性解；而当 $p < -1$ 或 $p > (\Lambda/\lambda (n-1)+2)/(\Lambda/\lambda (n-1))$ 时，正解确实存在。这一结果通过构造齐次方程 $M^-_{\lambda, \Lambda}(D^2u)=0$ 的显式下解，以及证明半空间中整超调和函数经典 Hadamard 三圆定理的非线性版本来实现。