关于具有极值 Pucci 算子的 Hamilton-Jacobi 方程一维对称性及 Bernstein 型估计应用的注记

我们证明了一个 Liouville 型定理，即方程 \begin{equation*} -\mathcal{M}_{\lambda, \Lambda}^{\pm}(D^2u)\pm |Du|^p=0, x\in \mathbb{R}_+^n, \end{equation*} 在边界条件 $u(\tilde{x},0)=M\geq 0, \tilde{x}\in \mathbb{R}^{n-1}$ 下非负 $L^q$-粘性解的一维对称性与分类结果，其中 $\mathcal{M}_{\lambda, \Lambda}^{\pm}$ 是参数为 $\lambda, \Lambda \in \mathbb{R}_+$ $0<\lambda\leq \Lambda$ 与 $p>1$ 的 Pucci 算子。该结果推广了 Porreta 与 Ver\'on 在 arXiv:0805.2533 中针对 $p\in (1,2]$ 情形以及 o Filippucci、Pucci 与 Souplet 在 arXiv:1906.05161 中针对 $p>2$ 情形（二者均为 Laplacian 情形，即 $\lambda=\Lambda=1$）的结果。作为 $p>2$ 情形的应用，我们证明了完全非线性方程 \begin{equation*} -\mathcal{M}_{\lambda, \Lambda}^{\pm}(D^2u)= |Du|^p+f(x), \quad x\in \Omega, \label{ecuacion1} \end{equation*} 在边界条件 $u=0$ 于 $\partial \Omega$ 上（其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$）的非负 $L^q$-粘性解的尖锐 Bernstein 估计。