扩散 Hamilton-Jacobi 方程的整个解和古老解的分类

考虑带 Dirichlet 边界条件的扩散 Hamilton-Jacobi 方程,其在随机控制和 KPZ 型表面生长模型中均有出现。已知对于 $p>2$ 且取适当较大值,光滑初始数据会在边界上发生有限时间梯度 blowup。另一方面,Liouville 类型刚性或分类性质在非线性椭圆和抛物问题的定性行为研究中起着核心作用,并在关于半空间中解的一维性的著名 BCN 猜想中显现。为了此动机,我们研究整个解和古老解在 $\R^n$ 以及带 Dirichlet 边界条件的半空间中的 Liouville 类型分类和对称性质。首先,我们证明任何在 $\R^n$ 中且在无穷远处具有亚线性上界增长的古老解必然是常数。此结果 optimal,由于显式例子可知,解决了一个长期悬而未决的问题。接下来我们转向 $p>2$ 的半空间问题并完全分类整个解:任何整个解都是平稳的且一维的。该假设在 $p=2$ 的显式例子中均为 sharp。然后我们表明对于古老解来说,情况也完全不同:对于所有 $p>1$ 都存在非平稳古老解。然而,我们证明任何古老解必然是正的,且在施加接近 optimal 的多项式增长限制后,平稳性和一维性得以恢复。此外,我们建立了新的 optimal 的 local 估计,包括 Bernstein 和 Li-Yau 类型。Liouville 和分类结果证明基于积分估计、translation-compactness 程序和比较论证,并结合我们的 Bernstein 和 Li-Yau 类型估计。