完备黎曼流形上随机完备性的非局部刻画

本文首先证明了以下广义守恒原理在完备黎曼流形上成立：对于每个 $0<s<1$ 和 $t>0$，有 $$T_t^{(s)}\mathbf 1+\int_0^t T_\tau^{(s)}\mathcal R_s\,d\tau=1 \qquad\text{在 }M \text{ 上}，$$ 其中 $\mathcal R_s$ 是衡量从属半群质量损失的内在消灭项，且条件 $\mathcal R_s\equiv0$ 等价于 $M$ 的随机完备性。然后，我们提供了随机完备性的几个新的非局部刻画。特别地，我们证明了随机完备性等价于真正的非局部条件，包括零均值恒等式 $$\int_M (-\Delta)^s\varphi\,dV_g=0 \qquad\forall\,\varphi\in C_c^\infty(M)，$$ 以及相关分数阶椭圆型和抛物型方程的有界分布解的唯一性。我们还重新审视了热半群生成元的等价 $L^1$-核刻画，这在我们方法中起着重要作用。此外，我们证明了从属半群的 $L^p$-压缩性和光滑性，建立了分数阶热核的短时和长时渐近结果，推导了相关马尔可夫过程跳跃概率的短时渐近，并研究了分数阶预解式的变分刻画和极小性。这些结果共同为完备黎曼流形上的分数阶拉普拉斯算子提供了一个统一的分析与概率框架。