次马尔可夫半群的守恒与不变性质

设 ${\cal E}$ 是 $L_2(X)$ 上的狄利克雷型，$\Omega$ 是 $X$ 的一个开子集。那么，可以定义对应于 ${\cal E}$ 但在 $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 上施加狄利克雷或诺伊曼边界条件的狄利克雷型 ${\cal E}_D$ 或 ${\cal E}_N$。如果 $S$, $S^D$ 和 $S^N$ 是相关的次马尔可夫半群，我们在正则性和局部性的一般假设下证明，对所有 $\phi\in L_2(\Omega)$ 和 $t>0$ 有 $S_t\phi = S^D_t\phi$ 当且仅当 $\partial \Omega$ 相对于 $\Omega$ 的容量 ${\mathop{\rm cap}}_\Omega(\partial\Omega)$ 为零。此外，如果 $S$ 是保守的，即随机完备，则 ${\mathop{\rm cap}}_\Omega(\partial\Omega)=0$ 当且仅当 $S^D$ 在 $L_2(\Omega)$ 上是保守的。在稍强的假设下，我们还证明了相对容量的消失等价于对所有 $\phi\in L_2(\Omega)$ 和 $t>0$ 有 $S^D_t \phi = S^N_t \phi$。