具有无界系数的对称非局部 Dirichlet 形式所生成半群的紧性

设 $(\E,\F)$ 为 $L^2(\R^d;\d x)$ 上由 $$\E(f,g)=\iint_{\R^d\times \R^d} (f(y)-f(x))(g(x)-g(y)){W(x,y)}\, J(x,\d y)\,\d x, \quad f,g\in \F,$$ 定义的具有无界系数的对称非局部 Dirichlet 形式，其中 $J(x,\d y)$ 被视为具有有界系数的纯跳跃对称 Lévy 型过程的跳跃核，$W(x,y)$ 被视为加权（无界）函数。我们建立了 $L^2(\R^d;\d x)$ 上相伴的马尔可夫半群 $(P_t)_{t\ge0}$ 紧与非紧的精确判据。特别地，我们证明若 $J(x,\d y)=|x-y|^{-d-\alpha}\,\d y$（其中 $\alpha\in (0,2)$），且 $$W(x,y)= \begin{cases} (1+|x|)^p+(1+|y|)^p, \ & |x-y|< 1 \\ (1+|x|)^q+(1+|y|)^q, \ & |x-y|\geq 1 \end{cases}$$ 其中 $p\in [0,\infty)$ 且 $q\in [0,\alpha)$，则 $(P_t)_{t\ge0}$ 紧当且仅当 $p>2$。这表明 $(\E,\F)$ 的紧性仅严重依赖于加权函数 $W(x,y)$ 在 $|x-y|<1$ 时的增长。我们的方法基于建立 $(\E,\F)$ 的本质超 Poincaré 不等式。即便跳跃核 $J(x,\d y)$ 退化或关于 Lebesgue 测度奇异，我们的通用结论依然成立。