弱奇异非局部二次型的局部紧致性与非消失性

在这项工作中，我们研究一类非局部二次型 $$\mathcal{E}_j(u,v)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N}\int_{\mathbb{R}^N}(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))j(x-y)\ dxdy,$$ 其中$j:\mathbb{R}^N\to[0,\infty]$为可测偶函数，且满足$\min\{1,|\cdot|^2\}j\in L^1(\mathbb{R}^N)$。仅假设$j\notin L^1(\mathbb{R}^N)$，我们证明了嵌入$\mathcal{D}^j(\mathbb{R}^N)\hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$的局部紧致性，其中$\mathcal{D}^j(\mathbb{R}^N)$表示满足$\mathcal{E}_j(u,u)<\infty$的函数$u\in L^2(\mathbb{R}^N)$构成的空间。利用该局部紧致性，我们建立了一个可区分$\mathcal{D}^j(\mathbb{R}^N)$中有界序列消失与非消失的二选一判据。作为应用，我们证明了定义在$\mathcal{D}^j(\mathbb{R}^N)$单位球上的一类积分泛函极大值的存在性。我们的主要结果可推广到$\Omega = U \times \mathbb{R}^k$型的柱形无界集，其中$U \subset \mathbb{R}^{N-k}$为开有界集。最后，我们注意到与$\mathcal{E}_j$相关的Poincaré不等式在此类无界域上成立，从而推广了先前针对有界域的已知结果。