De Giorgi类的推广及其应用

我们给出经典De Giorgi类的一个推广，并证明该新类中的函数是局部有界且局部Hölder连续的。给出了若干应用。作为第一个应用，我们对四维欧几里得空间中具有分裂形式的特殊一类多凸泛函的局部极小元$u:\Omega \subset \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R^4$给出正则性结果。在能量密度的一些结构条件下，我们证明局部极小元$u$的每个分量$u^\alpha$属于广义De Giorgi类，进而可推得它是局部有界且局部Hölder连续的。我们的结果可应用于原型为 $$\int_\Omega \Big(\sum_{\alpha =1}^4 |Du^\alpha|^p + \sum_{\beta =1}^6 |({\rm adj}_2 Du )^\beta | ^q +\sum_{\gamma =1}^4 |({\rm adj}_3 Du )^\gamma | ^r +|\det Du|^s \Big ) \mathrm {d}x$$ 且适当$p,q,r,s\ge 1$的多凸积分。作为第二个应用，我们考虑形如 $$-\mbox {div} (a(x)\nabla u)=-\mbox {div}F,$$ 且$0<a(x) \le \beta <+\infty$的退化线性椭圆方程。借助广义De Giorgi类，我们证明只要$\frac 1 {a(x)}$和$F(x)$属于某合适的局部可积函数空间，任何弱解都是局部有界且局部Hölder连续的。作为第三个应用，我们表明该定理可应用于处理具有非标准增长条件的椭圆方程的正则性问题。作为第四个应用，我们处理拟线性椭圆组。在系数的适当假设下，我们证明其任一弱解都是局部有界且局部Hölder连续的。