非常退化凸积分极小元的更高正则性

本文考虑如下类型积分泛函的极小元：\n\begin{equation*}\n\mathcal{F}(u):= \int_\Omega \dfrac{1}{p} \bigl( |Du(x)|_{\gamma(x)}-1\bigr)_+^p \ \mathrm{d}x,\n\end{equation*}\n其中$p >1$，$u : \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N$，$N \ge 1$，是可能取向量值的函数。这里$| \cdot |_\gamma$是$\mathbb{R}^{nN}$上有界、对称且强制的双线性形式的关联范数。我们证明，对于任何在$\bigl\{ (x,\xi ) \in \Omega \times \mathbb{R}^{nN} : |\xi|_{\gamma(x)} \le 1 \bigr\}$上为零的连续函数$\mathcal{K}: \Omega \times \mathbb{R}^{nN} \rightarrow \mathbb{R}$，$\mathcal{K}(x,Du)$在$\Omega$中连续。