对称狄利克雷型下常返性与刘维尔性质的等价性

给定一个在（非平凡的）$\sigma$-有限测度空间 $(E,\mathcal{B},m)$ 上的对称狄利克雷型 $(\mathcal{E},\mathcal{F})$，其伴随马尔可夫半群 $\{T_{t}\}_{t\in(0,\infty)}$，我们证明 $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ 既不可约又常返，当且仅当不存在非常数的 $\mathcal{B}$-可测函数 $u:E\to[0,\infty]$ 是 $\mathcal{E}$-过剩的（即对任意 $t\in(0,\infty)$ 满足 $T_{t}u\leq u$ $m$-几乎处处）。我们还证明这些条件等价于等式 $\{u\in\mathcal{F}_{e}\mid \mathcal{E}(u,u)=0\}=\mathbb{R}\mathbf{1}$，其中 $\mathcal{F}_{e}$ 表示与 $(\mathcal{E},\mathcal{F})$ 相关的扩展狄利克雷空间。证明基于简单的分析论证，且对状态空间或型不需要额外假设。在证明过程中，我们还给出了用 $\mathcal{F}_{e}$ 和 $\mathcal{E}$ 表征 $\mathcal{E}$-过剩性的方法，该方法对任意对称保正型均成立。