具有无限范围跳跃的对称跳跃过程的 Feynman-Kac 半群的内在收缩性

设 $(X_t)_{t\ge 0}$ 是由如下非局部正则 Dirichlet 型 $(D,\D(D))$ 生成的对称强 Markov 过程：\begin{equation*} \begin{split} & D(f,g)=\int_{\R^d}\int_{\R^d}\big(f(x)-f(y)\big)\big(g(x)-g(y)\big) J(x,y)\,dx\,dy, \quad f,g\in \D(D) \end{split} \end{equation*}其中 $J(x,y)$ 是 $\R^d\times \R^d$ 上严格正且对称的可测函数。我们研究了 Feynman-Kac 半群 $$T^V_t(f)(x)=\Ee^x\left(\exp\Big(-\int_0^tV(X_s)\,ds\Big)f(X_t)\right),\,\, x\in\R^d, f\in L^2(\R^d;dx).$$ 的内在超收缩性、内在超超收缩性和内在超紧性。特别地，我们证明了对于 $$J(x,y)\asymp|x-y|^{-d-\alpha}\I_{\{|x-y|\le 1\}}+e^{-|x-y|}\I_{\{|x-y|> 1\}}$$ 其中 $\alpha \in (0,2)$，以及 $V(x)=|x|^\lambda$ 其中 $\lambda>0$，$(T_t^V)_{t\ge 0}$ 是内在超紧的当且仅当 $\lambda>1$；并且对于 $\alpha \in (0,2)$ 的对称 $\alpha$-稳定过程 $(X_t)_{t\ge0}$ 和 $V(x)=\log^\lambda(1+|x|)$ 其中某些 $\lambda>0$，$(T_t^V)_{t\ge 0}$ 是内在超紧的（或内在超超收缩的）当且仅当 $\lambda>1$，而 $(T_t^V)_{t\ge 0}$ 是内在超收缩的当且仅当 $\lambda\ge1$。此外，我们还研究了 $\liminf_{|x| \to \infty}V(x)<\infty$ 情形下 $(T_t^V)_{t \ge 0}$ 的内在收缩性质。