具有有限范围跳跃或大跳跃的非局部 Dirichlet 型的函数不等式

本文是我们论文 [12,2] 的续篇，研究了具有有限范围跳跃或大跳跃的非局部 Dirichlet 型的函数不等式。设$\alpha\in(0,2)$且$\mu_V(dx)=C_Ve^{-V(x)}\,dx$为概率测度。我们提出了以下具有有限范围跳跃的非局部 Dirichlet 型的 Poincar\'{e}不等式和超 Poincar\'{e}不等式的明确且尖锐的判据：$$\mathscr{E}_{\alpha, V}(f,f):= (1/2)\iint_{{|x-y|\le 1}}\frac{(f(x)-f(y))^2}{|x-y|^{d+\alpha}} dy \mu_V(dx);$$另一方面，我们给出了具有以下形式的大跳跃非局部 Dirichlet 型的 Poincar\'{e}不等式的尖锐判据：$$\mathscr{D}_{\alpha, V}(f,f):= (1/2)\iint_{{|x-y|> 1}}\frac{(f(x)-f(y))^2}{|x-y|^{d+\alpha}} dy \mu_V(dx),$$并推导出超 Poincar\'{e}不等式对$\mathscr{D}_{\alpha, V}$不成立。为了获得上述结果，需要一些与\cite{WW, CW}完全不同的新方法和思想，例如针对$\mathscr{E}_{\alpha, V}$和$\mathscr{D}_{\alpha, V}$的局部 Poincar\'{e}不等式，以及针对$\mathscr{E}_{\alpha, V}$的 Lyapunov 条件。特别地，关于$\mathscr{E}_{\alpha, V}$的结果表明，满足具有有限范围跳跃的非局部 Dirichlet 型的 Poincar\'{e}不等式和超 Poincar\'{e}不等式的概率测度，与满足局部 Dirichlet 型的概率测度享有某些相似性质；另一方面，关于$\mathscr{D}_{\alpha, V}$的论断表明，即使非局部 Dirichlet 型的函数不等式 heavily 依赖于相关 L\'{e}vy 测度中大跳跃的密度，相应的小跳跃对于局部超 Poincar\'{e}不等式也起着重要作用，这是推导超 Poincar\'{e}不等式所不可避免的。