半群的局部性与控制性

我们刻画了 $L^2(\Omega)$ 上介于 Dirichlet 与 Neumann 半群之间的所有半群 $(T(t))_{t\geq0}$，即：在正算子意义下，对所有 $t\geq0$ 有 \begin{equation*}\label{eq:san} e^{t\Delta_D}\leq T(t)\leq e^{t\Delta_N}\quad,\text{for all }t\geq0 \end{equation*}。证明使用了著名的 Beurling-Deny 与 Lejan 公式，从而去掉了通常对与 $(T(t))_{t\geq 0}$ 相关联的形式所施加的局部性假设。