通过覆盖增长估计实现黎曼流形上的渐近量化

量化问题旨在用有限个点最佳逼近给定度量空间上的概率测度，其中逼近误差是相对于 Wasserstein 距离来衡量的。在特定的光滑域（如 $\mathbb{R}^d$ 或完备黎曼流形）上，只要测度满足控制紧集外质量量的积分条件，已知当点数趋于无穷时，量化误差会呈多项式衰减。在黎曼流形上，现有的积分条件涉及一个衡量指数映射增长的量，而对此仅有的估计是基于截面曲率的下界。在本文中，我们为黎曼流形上量化误差的渐近性提供了一个更一般的积分条件，该条件由球面覆盖数的增长给出，这纯粹是度量性质的，仅涉及流形的大尺度增长。我们进一步估计了两种特殊情况下的流形覆盖增长，即 Ricci 曲率下界和离散等距群的几何群作用。这些估计本身可以推广到流形之外，并暗示了未来对非光滑度量测度空间上渐近量化的处理。