关于畸变$L^p$均值的Teichmüller问题

Teichmüller于1944年提出的问题是：给定$x\in [0,1)$，求并描述极值的拟共形映射$f:\ID\to\ID$，$f|\partial \ID=identity$且$f(0)=-x\leq 0$。我们在$L^p$均值畸变极小元的框架下考虑此问题。经典结果表明，存在一个Teichmüller型的极值映射，其伴随的全纯二次微分在$x$处有一阶极点（若$x\neq 0$）。对于$L^p$范数，当$p=1$时已知除非$x=0$否则不存在局部拟共形极小元。此处我们证明，对$1\leq p<\infty$，在弱类中存在极小元及伴随的Ahlfors-Hopf全纯二次微分，该微分在$f(0)=r$处有一阶极点。然而，除非$r=0$且$f=identity$，该极小元不可能属于$W^{1,2}_{loc}(\ID)$。故不存在局部拟共形极小元。对畸变指数范数的极小元亦有类似结论。我们还利用先前工作表明，当$p\to\infty$时，弱$L^p$极小元在$\ID$中局部一致收敛于极值拟共形映射；当$p\to 1$时，弱$L^p$极小元在$\ID$中局部一致收敛于恒等映射。