评 Teichmüller 的论文《可变黎曼曲面》
几何拓扑
2012-09-20 v1
摘要
本文是对 Teichmüller 于 1944 年发表的论文《可变黎曼曲面》（Veränderliche Riemannsche Flächen）的评述。这是 Teichmüller 关于模空间问题撰写的最后一篇论文。该论文在大多数地方只包含思想而缺乏技术细节。作者提出了一种全新的 Teichmüller 空间研究方法，不同于他在首篇开创性论文《极值拟共形映射与二次微分》及其续篇《闭定向黎曼曲面上极值拟共形映射的确定》中所采用的方法，后者完成了前一篇论文中陈述的部分结果。在《极值拟共形...》一文中，Teichmüller 奠定了今天我们称之为 Teichmüller 理论的基础（尽管当时尚未引入复结构），定义了其度量，并引入了拟共形映射和二次微分技术作为该理论的基本工具。而在当前这篇论文中，研究方法更为抽象，基于复解析几何。此处通过某种泛性质刻画了装备有复解析结构的 Teichmüller 空间。在该论文包含的其他思想和结果中，我们提及以下几点：(1) 通用 Teichmüller 曲线的存在性和唯一性，后来被 Ahlfors 和 Bers 重新发现；同时，这也引入了 Teichmüller 空间上的第一个纤维丛。(2) 证明了通用 Teichmüller 曲线的自同构群是扩大的映射类群。(3) 精细模空间的思想。(4) 利用周期映射在 Teichmüller 空间上定义复结构的思想。
引用
@article{arxiv.1209.1882,
title = {A commentary on Teichm\"uller's paper "Ver\"anderliche Riemannsche Fl\"achen" (Variable Riemann Surfaces)},
author = {Annette A'Campo-Neuen and Norbert A'Campo and Lizhen Ji and Athanase Papadopoulos},
journal= {arXiv preprint arXiv:1209.1882},
year = {2012}
}