几乎 Fuchsian 模空间上的超凯勒度量

Donaldson 针对闭定向曲面 $\Sigma$（满足 $\textrm{genus}(\Sigma) \geq 2$）构造了一个超凯勒模空间 $\mathcal{M}$。它自然嵌入到 Teichmüller 空间的余切丛 $T^*\mathcal{T}(\Sigma)$ 中，或可等同于与 $\Sigma$ 关联的几乎 Fuchsian 模空间。后者是含有唯一主曲率在 $(-1,1)$ 内的不可压极小曲面的拟 Fuchsian 三维流形的模空间。Donaldson 概述了该模空间的若干显著性质，本文给出其完整证明：在 Teichmüller 空间的余切丛上，$\mathcal{M}$ 上的超凯勒结构可视为 Weil--Petersson 度量的 Feix--Kaledin 超凯勒扩张。几乎 Fuchsian 模空间嵌入到 $\Sigma$ 的 $\textrm{SL}(2,\mathbb{C})$-表示变种中，且 $\mathcal{M}$ 上的超凯勒结构扩张了 Goldman 全纯辛结构。此处自然复结构对应于第一幅图像中的第二个复结构。此外，几乎 Fuchsian 流形中极小曲面的面积给出了超凯勒度量的一个 Kähler 势。这些识别借助 Uhlenbeck 关于双曲 $3$-流形芽的工作、Hodge 发现的从 $\mathcal{M}$ 到 $\mathcal{T}(\Sigma)\times \bar{\mathcal{T}(\Sigma)}$ 的显式映射、Bers 的同时均匀化定理，以及 Hitchin 引入的 Higgs 丛理论而获得。