论格罗滕迪克对泰希米勒空间的构造

在1944年的论文《Veränderliche Riemannsche Flächen》中，泰希米勒在亏格为g的带标记闭黎曼曲面的同构类集合上定义了一种复流形结构。他所得到的复流形即今天所谓的泰希米勒空间。在同一篇论文中，泰希米勒引入了所谓的泛泰希米勒曲线——一个位于泰希米勒空间之上的空间，其中每一点上方的纤维是表示该点的黎曼曲面。事实上，泰希米勒证明了泰希米勒曲线作为一个由解析空间参数化的黎曼曲面空间的存在性，并借助存在唯一性定理确立了这一解析结构。该结果后来由格罗滕迪克在1960-1961年于嘉当讨论班所做的一系列十次讲座中重新表述并证明。在他的方法中，格罗滕迪克以底空间为任意解析空间的纤维丛的一般构造取代了泰希米勒的显式参数。这一关于泰希米勒空间的工作促使他使用范畴与函子的语言重铸了解析几何的基础。用格罗滕迪克的话说，泰希米勒曲线变成了一个表示从解析空间范畴到集合范畴的函子的空间。在本综述中，我们对格罗滕迪克的系列讲座进行评注。该综述主要面向低维拓扑学家与几何学家。在呈现格罗滕迪克的结果时，我们试图用更简单的术语解释或改述一些通常用代数几何语言表述的概念。然而，不可能绕过范畴与函子的语言。该综述也面向那些希望了解模空间概念如何随泰希米勒理论演变的代数几何学家。阐释数学思想的起源有助于公正对待其作者，并通常使所综述的理论更具吸引力。本文的最终版本将作为《泰希米勒理论手册》第六卷的一章出现。该卷谨献给亚历山大·格罗滕迪克的纪念。