双连通黎曼曲面间 Dirichlet 能量微分同胚极小元的 Kellogg 定理

我们将著名的 Kellogg 关于共形微分同胚的定理推广到 Dirichlet 能量的极小元。即我们证明：在双连通黎曼曲面 $(\X,\sigma)$ 与 $(\Y,\rho)$ 之间，具有 $\mathscr{C}^{n,\alpha}$ 边界（$0<\alpha<1$）的 Sobolev 映射的 Dirichlet 能量的微分同胚极小元，在度量 $\rho$ 足够光滑的条件下，直至边界均为 $\mathscr{C}^{n,\alpha}$。此处 $n$ 为正整数。关键在于，每一个 Dirichlet 能量的微分同胚极小元都是具有非常特殊 Hopf 微分的调和映射，这一事实被用于证明中。这改进并推广了作者与 Lamel 在 \cite{kalam} 中的近期结果，其中作者针对复平面中的双连通域证明了类似结果，但对应于 $\alpha'$ 满足 $\le \alpha$ 且 $\rho\equiv 1$。这是对 T. Iwaniec 等人在 \cite{iwa} 及作者在 \cite{kal0} 中证明的存在性结果的补充。