辛 Dirichlet 能量的几个全局极小化子

本文考虑泛函 $F=\frac12\|\phi^*\omega\|_{L^2}^2$ 的变分问题，其中 $\phi:(M,g)\to (N,\omega)$ 将 Riemann 流形映射到辛流形。该泛函在理论物理中作为 Faddeev-Hopf 能量的强耦合极限出现，可视为调和映射理论中熟知的 Dirichlet 能量的辛类比。已知 Hopf 纤维化 $\pi:S^3\to S^2$ 是 $F$ 的局部稳定临界点。本文证明了 $\pi$ 事实上在其同伦类中极小化 $F$，并将该结果推广到 $S^3$ 赋予 Berger 球度量的情形。证明了若 $\phi^*\omega$ 余闭，则 $\phi$ 是 $F$ 的临界点并在其同伦类中极小化 $F$。若 $M$ 是紧 Riemann 面，证明了 $F$ 的每个临界点都有 $\phi^*\omega$ 余闭。构造了一族到 Hermite 对称空间的全纯齐次投影，并证明它们也在其同伦类中极小化 $F$。