广义有限畸变映射与连续性

我们研究Sobolev映射 $f \in W_{\mathrm{loc}}^{1,n} (\Omega, \mathbb{R}^n)$（$n \ge 2$）的连续性性质，这些映射满足如下广义有限畸变不等式 $$\lvert Df(x)\rvert^n \leq K(x) J_f(x) + \Sigma (x)$$ 对几乎处处的 $x \in \mathbb{R}^n$ 成立。此处 $K \colon \Omega \to [1, \infty)$ 与 $\Sigma \colon \Omega \to [0, \infty)$ 为可测函数。注意当 $\Sigma \equiv 0$ 时，我们回到有限畸变映射类，其总是连续的。然而，任意解的连续性是一个复杂的问题。我们在有界畸变 $K \in L^\infty (\Omega)$ 的情形下完全解决了连续性问题，其中连续性的一个尖锐条件是 $\Sigma$ 属于Zygmund空间 $\Sigma \log^\mu(e + \Sigma) \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$，对某 $\mu > n-1$。我们还表明可将 $K$ 的有界性假设略微放宽至指数类 $\exp(\lambda K) \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$（其中 $\lambda > n+1$），并在 $\Sigma \log^\mu(e + \Sigma) \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 且 $\mu > \lambda$ 时仍得到连续解。另一方面，对所有 $p, q \in [1, \infty]$ 满足 $p^{-1} + q^{-1} = 1$，我们构造了一个不连续解，其 $K \in L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 且 $\Sigma/K \in L^q_{\mathrm{loc}}(\Omega)$，包括一个 $\Sigma \in L^\infty_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 且 $K \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ 的实例。