线性畸变泛函下半连续性的普遍性失效

我们考虑畸变泛函的凸性性质，特别是定义于欧氏 $n$-空间（$n\geq 3$）中区域同胚之上的线性畸变。内、外畸变泛函在所有维数下均下半连续，因此对于拟共形性的曲线模或解析定义，若 $\{ f_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ 是一列 $K$-拟共形映射（此处 $K$ 依赖于特定畸变泛函但对序列中每个元素相同）且局部一致收敛于映射 $f$，则该极限函数亦为 $K$-拟共形。尽管普遍认为这对拟共形性的几何定义（通过线性畸变 $H({f_{n}})$ 定义）亦成立，T. Iwaniec 给出了一个具体而令人惊讶的例子，表明线性畸变泛函在一致收敛的拟共形映射序列上并非总是下半连续的。本文我们表明这种下半连续性的失效是普遍的，或许在如下意义下是通有的：在对拟共形 $f$ 施加温和限制下，存在序列 $\{f_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ 满足 ${f_{n}}\to {f}$ 局部一致且 $\limsup_{n\to\infty} H( {f_{n}})<H( {f})$。我们的主要结果表明这对仿射映射成立。针对 F.W. Gehring 和 Iwaniec 的猜想，我们表明极限中的上跳可任意大，并给出推测为紧的界：对每个 $\alpha<\sqrt{2}$，存在 ${f_{n}}\to {f}$ 局部一致且 $f$ 为仿射，并有 $$\alpha \; \limsup_{n\to\infty} H( {f_{n}}) < H( {f})$$ 我们猜想 $\sqrt{2}$ 为最佳可能。