度量空间中的拟共形曲线与拟共形映射

本文研究拟共形曲线，它是拟正则曲线的一种特例。即某些定义域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的嵌入 $\Omega\rightarrow\mathbb{R}^m$，其中 $n\leq m$，这些嵌入属于适当的 Sobolev 类，并对 $\mathbb{R}^m$ 中某个光滑、闭且非零的 $n$-形式满足一定的畸变不等式。这些映射可视为 $\Omega$ 与 $f(\Omega)$ 之间的拟共形映射。我们证明拟共形曲线总满足拟共形映射的解析定义以及模不等式的下半部分。此外，我们给出拟共形曲线满足拟共形映射度量定义的充分条件。我们还表明，在适当假设下，从 $\Omega$ 到 $f(\Omega)\subset \mathbb{R}^m$ 的拟共形映射对于某个形式 $\omega$ 是一条拟共形 $\omega$ 曲线。最后，当我们以目标空间 $f(\Omega)$ 的内在度量替代欧氏度量时，我们证明同样结论成立。