具有小伸缩商的度量曲面拟共形参数化

我们验证了Rajala的一个猜想：若$(X,d)$是一个具有局部有限豪斯多夫2-测度且允许某个（几何）拟共形参数化（由单连通区域$\Omega \subset \mathbb{R}^2$实现）的度量曲面，则存在一个拟共形映射$f: X \rightarrow \Omega$，满足对于$X$中的所有曲线族$\Gamma$，模不等式$2\pi^{-1}\text{Mod }\Gamma \leq \text{Mod }f\Gamma \leq 4\pi^{-1}\text{Mod }\Gamma$成立。该不等式是最优的。我们的证明基于平面凸体在线性变换下的面积不等式，该变换达到其到欧几里得单位球的巴拿赫-马祖尔距离。