高维拟共形映射理论，I

本文综述了现代高维拟共形映射理论的诸多要素及其广泛多样的应用。全文以作者的研究兴趣为主题进行统一（并有所限定）。我们将讨论该基础理论在 20 世纪 60 年代由 F.W. Gehring 和 Yu G. Reshetnyak 的早期工作所确立的发展脉络，随后探讨其在随后几十年中与几何函数论、非线性偏微分方程、微分几何拓扑及动力学等领域产生的联系。鉴于读者若要理解最大一般性下的结果需要相当深厚的技术知识，我们仅给出少量证明，旨在勾勒该领域的主要成果及当前研究主题。我们试图展现该领域的现状、核心思想与问题，以及目前与其他领域研究者的主要互动方向。文中也穿插了一些历史背景。由于篇幅所限，我们未能涵盖将理论推广至有限畸变映射及退化椭圆 Beltrami 系统的许多近期进展，后者将该理论与变分法、非线性弹性力学、非线性 Hodge 理论及相关领域紧密相连，尽管读者在部分章节中或可窥见这方面的端倪。