hv-凸平面集的广义锥函数：连续性性质及其与 X 射线断层扫描的关系

在本文中，我们研究了映射 $\Phi$ 的连续性性质，该映射将任何非空紧致连通 hv-凸平面集 $K$ 映射到相关的广义锥函数 $f_K$。函数 $f_K$ 通过积分测量平面上的点到焦点集 $K$ 的平均出租车距离。主要应用领域是几何断层扫描，因为 $f_K$ 作为二阶偏导数包含了坐标 X 射线的信息 \cite{NV3}。我们证明了，如果将定义域限制为包含在与坐标轴平行的固定框（参考集）内的非空紧致连通 hv-凸平面集集合，则 Hausdorff 收敛意味着锥函数在 supremum 范数和 $L_1$ 范数下的收敛。我们还有 $\Phi^{-1}$ 作为集值映射是上半连续的。上半连续性建立了一个逼近过程，即如果 $f_L$ 接近 $f_K$，则 $L$ 必须接近某个元素 $K'$，使得 $f_{K}=f_{K'}$。因此，$K$ 和 $K'$ 几乎处处具有相同的坐标 X 射线。下半连续性通常与连续选择的存在性有关。如果一个集值映射在其定义域的某点既是上半连续又是下半连续的，则称其为连续的。本文最后一节致力于非空紧致凸平面集的情况。我们表明，由其坐标 X 射线确定的凸体类与 $f_K$ 是 $\Phi^{-1}$ 的下半连续性点的凸体 $K$ 族重合。