曲面形状空间上的 Sobolev 度量

科学、工程和医学中的许多过程都会产生几何形状形式的数据。在数学上，形状可以建模为无参数化的浸入子流形，这也是本文所使用的形状概念。赋予形状空间一个 Riemann 度量，便开启了包含测地线、梯度流和曲率的 Riemann 微分几何世界。不幸的是，最简单的此类度量在形状空间上诱导的路径长度距离为零。Michor 和 Mumford 的这一发现成为了寻找更强、更有意义的度量的起点，这些度量应能区分形状的显著特征。Sobolev 度量是实现这一目标的非常有前景的方法。它们分为两类：由环境空间微分同胚群上的度量诱导的外部度量，以及内在地定义于形状本身的内部度量。在本工作中，我们在非常一般的框架下发展并处理了 Sobolev 内部度量。对浸入空间或环境空间的维数没有限制，且不要求环境空间是平坦的。我们证明了由 Sobolev 内部度量诱导的路径长度距离不为零。计算了测地线方程及由对称性产生的守恒量，并证明了测地线方程的适定性。最后，给出了测地线方程数值解的示例。