n维空间中超曲面形状空间上的殆局部度量

本文将文献[P.W.Michor and D. Mumford, \emph{Appl. Comput. Harmon. Anal.,} 23 (2007), pp. 74--113]中关于平面曲线的部分结果推广到了$\mathbb R^n$中超曲面的情形。设$M$为无边的紧连通定向$n-1$维流形，例如球面或环面。则形状空间或者是$\mathbb R^n$中$M$型子流形的流形，或者是$M$到$\mathbb R^n$的浸入模$M$的微分同胚群的轨形。我们研究形状空间上的殆局部黎曼度量。它们由浸入空间上如下形式的度量诱导：$$G_f(h,k) = \int_{M} \Phi(\operatorname{Vol}(f),\operatorname{Tr}(L))\g(h, k) \operatorname{vol}(f^*\g),$$ 其中$\g$是$\mathbb R^n$上的欧几里得度量，$f^*\g$是$M$上的诱导度量，$h,k\in C^\infty(M,\mathbb R^n)$是嵌入或浸入空间中$f$处的切向量，$\Phi:\mathbb R^2\to \mathbb R_{>0}$是适当的光滑函数，$\operatorname{Vol}(f) = \int_M\operatorname{vol}(f^*\g)$是$f(M)$的超曲面总体积，Weingarten映射的迹$\operatorname{Tr}(L)$是平均曲率。对于这些度量，我们计算了浸入空间和形状空间上的测地线方程、由显而易见的对称性产生的守恒动量以及截面曲率。对于$\Phi$的特殊选取，我们给出了截面曲率的完整公式。数值实验展示了这些度量的行为。