n维空间中超曲面形状空间上的曲率加权度量

设 $M$ 为一个紧致连通定向的 $n-1$ 维无边流形。本文中，形状空间是从 $M$ 到 $\mathbb R^n$ 的无参数化浸入构成的轨道流形。文献 \cite{Michor118} 的结果研究了平均曲率加权度量，这提示我们在度量定义中引入高斯曲率权重。因此，我们研究由浸入空间上的度量所诱导的形状空间上的度量，该度量的形式为 $$G_f(h,k) = \int_{M} \Phi . \bar g(h, k) \vol(f^*\bar{g}).$$ 其中 $f \in \Imm(M,\R^n)$ 是从 $M$ 到 $\R^n$ 的浸入，$h,k\in C^\infty(M,\mathbb R^n)$ 是 $f$ 处的切向量。$\bar g$ 是 $\mathbb R^n$ 上的标准度量，$f^*\bar g$ 是 $M$ 上的诱导度量，$\vol(f^*\bar g)$ 是诱导体积密度，$\Phi$ 是一个依赖于平均曲率和高斯曲率的适当光滑函数。对于这些度量，我们计算了浸入空间和形状空间上的测地线方程，以及由明显对称性产生的守恒动量。数值实验展示了这些度量的行为。