欧氏空间中赋值与曲率测度的刻画

赋值是凸体上一类泛函，包含欧拉示性数、表面积、勒贝格测度以及诸多其他经典泛函。曲率测度可视为赋值的“局部化”版本，给出关于物体边界几何的局部信息。连续平移不变 $\mathrm{SO}(n)$-不变赋值与曲率测度在 $\mathbb{R}$ 中取值者的完全分类分别由 Hadwiger 与 Schneider 获得。近来，在关于不变性性质的不同假设下，对取值于 $\operatorname{Sym}^p \mathbb{R}^n$ 与 $\operatorname{Sym}^2\!\Lambda^{q} \mathbb{R}^n$（$p,q \geq 1$）的曲率测度已得到刻画结果。在本文中，我们按球丛 $S\mathbb{R}^n$ 上的某些微分形式，分类了所有取值于任意 $\mathrm{SO}(n)$-表示的光滑平移不变 $\mathrm{SO}(n)$-协变曲率测度，并描述了它们在整体化映射下的行为。后一结果也给出了所有取值于任意 $\mathrm{SO}(n)$-表示的连续 $\mathrm{SO}(n)$-协变赋值的类似分类。此外，获得了光滑平移不变 $\mathbb{R}$-值曲率测度空间作为 $\mathrm{SO}(n)$-表示的分解。作为推论，我们构造了连续平移不变 $\mathbb{R}$-值赋值的一个显式基。