凸体上旋转协变的局部张量赋值

对于欧氏空间中凸体上的赋值，目前已有一长串刻画与分类定理。经典的范例是 Hadwiger 定理，它指出 $\mathbb{R}^n$ 中凸体上每个刚体运动不变、连续的实值赋值都是内蕴体积的线性组合。对于张量值赋值，在等距协变与连续性的假设下，Alesker 给出了一个类似的分类定理。对于内蕴体积、支撑测度和曲率测度与面积测度的局部推广，也有类似的刻画结果，其中连续性被弱连续性取代，并涉及局部确定的附加假设。本文作者最近针对 $\mathbb{R}^n$ 中凸体的局部张量赋值，或张量值支撑测度（广义曲率测度），得到了相应的刻画结果。其中假设的协变性是关于正交变换群 ${\rm O}(n)$ 的。这是基于 Alesker 的观察，即在 $n>2$ 维中，较弱的 ${\rm SO}(n)$ 协变性假设不会产生更多的张量赋值。然而，对于张量值支撑测度，正常旋转与非正常旋转之间的区别确实会产生影响。因此，本文考虑具有先前假设性质的局部张量赋值，但将 ${\rm O}(n)$ 协变性替换为 ${\rm SO}(n)$ 协变性，并给出了完整的分类。新的张量值支撑测度仅出现在二维和三维中。